等加速度運動全攻略：三大運動方程式推導、紙帶分析與等差數列應用| 莫斯利自然科學
當我們踩下油門，車速指針穩步爬升；當一顆蘋果從枝頭落下，速度每一秒都在均勻增加。在日常生活中，這種「速度均勻改變」的現象無所不在。然而，古希臘哲學家曾為「變化的運動」爭論不休，直到伽利略用斜面實驗鎖定了時間與位移的平方正比關係，人類才真正掌握了變速運動的規律。
一、 等加速度直線運動與運動學公式總表
當物體在定力作用下作等加速度運動時，其速度與時間成線性關係，位移與時間則成二次函數關係。三大運動公式與核心物理意義完整整理如下表：
公式編號 | 數學函數表達式 | 物理意義與適用時機 | 備註與方向性說明 |
公式一 | v = v₀ + a × t | • 描述速度與時間的關係。 • 可直接由 v-t 圖的斜率（加速度 a）推導而得。 | • 已知初速度 v₀、加速度 a 與時間 t 時求末速度 v |
公式二 | Δx = v₀ × t + (1 / 2) × a × t² | • 描述位移與時間的關係。 • 對應 v-t 圖中梯形或矩形加三角形的總面積。 | • 若無加速度 a 時，亦可用平均速度公式 Δx = ((v₀ + v) / 2) × t |
公式三 | v² = v₀² + 2 × a × Δx | • 描述速度與位移的關係（無時間 t 的表示法）。 | • 由公式一與公式二聯立消去時間 t 後得到，適合處理不知時間的題型。 |
二、 電鈴計時器與紙帶分析核心總表
實驗室中常用電鈴計時器（打點計時器）來記錄物體的運動軌跡。透過紙帶上點與點之間的距離變化，可以精準還原物體的瞬時速度與加速度，詳細內容整理如下表：
分析主題項目 | 核心原理與數學公式 | 實驗應用與判讀規則 |
1. 時間間隔計算 | • 若 T 秒內有 N 個點距，則每相鄰兩點的時間間隔（周期）為：Δt = T / N | • 若打點頻率為 f 赫茲（Hz），則時間間隔 Δt = 1 / f |
2. 瞬時速度求法 | • 某點 P 的瞬時速度等於其前後兩段位移的平均速度：v = (S₁ + S₂) / (2 × Δt) | • 根據等加速度運動特性：「時間中點的瞬時速度等於該段過程的平均速度」。 |
3. 加速度求法 | • 點 P 的瞬時加速度：a = (v₂ - v₁) / Δt = (S₂ - S₁) / (Δt)² | • 等時距內的相鄰位移呈現「等差數列」（ΔS = a × (Δt)²） |
4. 打點紙帶運動型態 | • 點距均勻 ➔ 等速運動。 • 點距漸增 ➔ 加速運動且速率變大。 • 點距漸減 ➔ 加速運動但速率變小。 | • 透過點距疏密即可一眼看出物體的運動快慢與加速度方向。 |
三、 講義精選例題解析
【題型一：等加速度直線運動公式綜合應用】
【題目】 作直線等加速的小球，其初速度 v₀ 為 4 m/s，加速度 a 為 6 m/s²，試回答下列問題：
小球在第 5 s 末速度為多少 m/s？
小球在 0 ～ 10 s 內前進多少公尺？
小球在 0 ～ 10 s 內的平均速度為多少 m/s？
當小球的位移為 32 m 時，其末速度為多少 m/s？
【詳細解析】
解析 (1)：求第 5 秒末的速度
代入公式一：v = v₀ + a × t。
v = 4 + 6 × 5 = 4 + 30 = 34 m/s。
解析 (2)：求 0 至 10 秒內的位移
代入公式二：Δx = v₀ × t + (1 / 2) × a × t²。
Δx = 4 × 10 + (1 / 2) × 6 × (10)² = 40 + 300 = 340 m。
解析 (3)：求 0 至 10 秒內的平均速度
平均速度定義：平均速度 = 總位移 / 總時間。
平均速度 = 340 m / 10 s = 34 m/s。
解析 (4)：已知位移求末速度（無時間）
代入公式三：v² = v₀² + 2 × a × Δx。
v² = 4² + 2 × 6 × 32 = 16 + 384 = 400 ➔ v = 20 m/s。
【題型二：打點紙帶分析與滑車加速度計算】
【題目】 一直線等加速運動的滑車，其後掛上紙帶，通過打點頻率 40 Hz 電鈴計時器的紙帶，得到如附圖所示的資料（A, B, C, D 點間距分別為 1.2 cm、2.7 cm、4.2 cm），請回答下列問題：
D ～ E 的距離為多少公分？
B 的瞬時速度為多少 cm/s？
滑車加速度的量值為多少 cm/s²？
【詳細解析】
步驟 1：分析紙帶等差數列規律。
觀察相鄰位移：S₁ = 1.2 cm，S₂ = 2.7 cm，S₃ = 4.2 cm。
計算公差：2.7 - 1.2 = 1.5 cm；4.2 - 2.7 = 1.5 cm。可知此為等差數列，公差為 1.5 cm。
解析 (1)：求 D 至 E 的距離
下一段距離 S₄ = 4.2 + 1.5 = 5.7 cm。
解析 (2)：求 B 點的瞬時速度
根據「時間中點的瞬時速度等於平均速度」，B 點的瞬時速度等於 A 到 C 段的平均速度。
v_B = (1.2 + 2.7) / (2 × Δt) 換算後可得 75 cm/s。
解析 (3)：求滑車加速度量值
利用公式 a = ΔS / (Δt)²，代入公差與時距可得加速度 1500 cm/s²（即 15 m/s²）。
四、 莫斯利重點整理
三大公式的選用時機心法：
缺位移 Δx 用公式一（v = v₀ + at）。
缺末速度 v 用公式二（Δx = v₀t + (1 / 2)at²）。
缺時間 t 用公式三（v² = v₀² + 2aΔx）。
紙帶分析的黃金定律：
等時距內的相鄰位移必成等差數列，其公差即為 a × (Δt)²。
某點的瞬時速度永遠等於該點前後兩段路程的平均速度（時間中點定理）。
方向性的正負號陷阱： 運動學公式中的位移 Δx、速度 v 與加速度 a 均具備向量性質，代入數值時務必統一座標正負方向（通常以初速度方向為正）。
